摘要
上一篇文章系数矩阵和通量分裂总结了与Jacobian矩阵分裂相关的公式。这里补充一个公式$dF^{\pm}=A^{\pm}dQ$.
公式
$$\Delta {F^ \pm } = A^ \pm \Delta Q = \left[ \begin{array}{c}
{\lambda_1}\Delta {\bf{\rho }}_s + {\delta_1}{\bf{Y}}_s\\
{\lambda_1}\Delta (\rho {\bf{u}}) + {\delta_1}{\bf{u}} + {\delta_2}{\bf{k}}\\
{\lambda_1}\Delta (\rho {e^v}) + {\delta_1}{e^v}\\
{\lambda_1}\Delta (\rho {e^e}) + {\delta_1}H + {\delta_2}\theta
\end{array} \right]$$
其中
$$\delta_1 = J_1 \Delta p + J_2 \rho {\bf{k}} \cdot \Delta {\bf{u}}$$
$$\delta_2 = J_1 c^2\rho {\bf{k}} \cdot \Delta {\bf{u}} + J_2\Delta p$$
$$J_1=\frac{\lambda_2+\lambda_3-2\lambda_1}{2c^2},J_2=\frac{\lambda_2-\lambda_3}{2c}$$
$$\Delta p = {\bf{P}}^{\bf{T}} \Delta {\bf{Q}}$$
$${\bf{P}}^T = \left[ \beta_s, - \varphi {\bf{u}}^T, - \varphi ,\varphi \right]$$
$$\rho {\bf{k}} \cdot \Delta {\bf{u}} = {\bf{k}} \cdot \Delta (\rho {\bf{u}}) - {\bf{k}} \cdot {\bf{u}}\Delta \rho $$
作用
隐式推进
以Eular方程LUSGS推进为例，$\Delta Q$作为右端项已经求出，可以通过上下两次扫描来进行隐式推进。
Step 1: 计算出右端项（残差）
Step 2 进行向上扫描：
$${\bf{W}}_{IJK}^{\ast} = (R_{IJK}^n + A_{I - 1}^{+} {\bf{W}}_{I - 1} + A_{J - 1}^{+} {\bf{W}}_{J - 1} + A_{K - 1}^ + {\bf{W}}_{K - 1})/\alpha $$
$$\alpha = \frac{\Omega}{\Delta t} + \omega (\Lambda_I^c + \Lambda_J^c + \Lambda_K^c) + H^n$$
Step 3: 进行向下扫描：
$${\bf{W}}_{IJK}= (\alpha {\bf{W}}_{IJK}^* - A_{I + 1}^ - {\bf{W}}_{I + 1} - A_{J + 1}^ - {\bf{W}}_{J + 1} - A_{K + 1}^ - {\bf{W}}_{K + 1})/\alpha $$
Step 4: 时间推进
$${\bf{Q}}_{IJK}^{n + 1} = {\bf{Q}}_{IJK}^n + {\bf{W}}_{IJK}$$
Roe 格式 通量
无粘通量
$$(\delta_\xi F)_i =F_{i+1/2}-F_{i-1/2}$$
对于FDS方法，
$$F_{i + 1/2} = \frac{1}{2}{\left[ F(Q_L) + F(Q_R) - \left| A \right|(Q_R - Q_L) \right]}_{i+1/2}$$
其中$\left| A \right|$由Roe平均求得。
这里Roe格式的耗散项需要用到$A \Delta Q$公式。这里的$\Delta Q$是空间上左值和右值的差。
SW 格式 通量
对于FVS方法
$$F_{i + 1/2} = {\left[ F^{+}(Q_L) + F^{-}(Q_R)\right]}_{i+1/2}$$
$F^{\pm}$可以通过系数矩阵和通量分裂中公式计算，也可以写成FDS形式：
$$\begin{array}{rcl}
F_{i + 1/2} &=& \frac{1}{2}\left[ F(Q_{i+1}) + F(Q_{i}) - A(Q_R - Q_L)\right]_{i+1/2}\\
&=& \frac{1}{2}\left[ F(Q_{i+1}) + F(Q_{i}) - \frac{1}{2}A_{i+1/2}(\Delta Q_R - \Delta Q_L)\right]
\end{array}$$
其中$\Delta Q_R=Q_R -Q_i,\Delta Q_L=Q_L -Q_i$。$Q_R,Q_L$由$Q$重构得到。