我们知道，声速的定义为：
$$\begin{equation}
c_f^2 = (\frac{\partial p}{\partial \rho})_s
\end{equation}$$
下标$s$代表等熵。热化学状态有三个变量确定：$p,\rho,q$，其中$q$为非平衡量，也称反应进度。因此热化学状态下声速并非唯一的，如果$q$取固定值，则有冻结声速$c_f$的概念；如果$q$取平衡值$q^{\ast}$，则有平衡声速的概念。
这里推导冻结声速：
$$\begin{equation}\label{eq:cf2}
c_f^2 = (\frac{\partial p}{\partial \rho})_{s,q}
\end{equation}$$
一个$q$就代表了一个非平衡值。将压强$p$视为守恒变量$Q = \left[ {\rho_s ,\rho {\mathbf{u}},\rho e^v,\rho e^e} \right]^T$的函数$p=f(Q)$,则有：
$$\begin{array}{l}
dp = \sum\limits_s {\beta_s d \rho_s}+ \varphi_\mathbf{u} \cdot d(\rho \mathbf{u}) +
\varphi d(\rho e^e) +{\varphi _{ev}}d(\rho {e^v})
\end{array}$$
其中$\beta_s,\varphi_\mathbf{u},\varphi,\varphi_{ev}$在非平衡偏导数中定义。
$$\begin{array}{rcl}
c_f^2 &=& (\frac{\partial p}{\partial \rho })_{s,Q}\\
&=& \varphi \frac{\partial \rho e^e}{\partial \rho } + \varphi_\mathbf{u} \cdot \frac{\partial \rho \mathbf{u}}{\partial \rho} + \sum\limits_s {\beta_s \frac{\partial \rho_s}{\partial \rho }} + \varphi_{ev}\frac{\partial \rho e^v}{\partial \rho}\\
&=& \varphi (H - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} - e^v) + \sum\limits_s {\beta_s Y_s} \\
&=& (1 + \varphi) \frac{p}{\rho}
\end{array}$$
推导中有一点需要注意：
由于等熵:$0=Tds=d{e^e} - \frac{p}{\rho ^2}d\rho $，因此$\frac{\partial \rho e^e}{\partial \rho}=\rho\frac{\partial e^e}{\partial \rho} +e^e=H$
另一方面，在系数矩阵和通量分裂中，对无粘Jacobian矩阵对角化的过程中，其特征值中出现的$c$与此有一模一样的表达式。