摘要

这里给出热化学非平衡流（双温度模型）的守恒型微分形式的控制方程。

控制方程

$$\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial F_k^c}{\partial x_k} = \frac{\partial F_k^d}{\partial x_k} + S\left( Q \right)$$

其中

$$Q = \left[ \begin{array}{c}
{\rho _s}\\
\rho {u_j}\\
\rho {e^v}\\
\rho {e^e}
\end{array} \right]$$

$$F_k^c = \left[ \begin{array}{c}
{\rho _s}{u_k}\\
\rho {u_j}{u_k} + p{\delta _{jk}}\\
\rho {u_k}{e^v}\\
\rho {u_k}h
\end{array} \right]$$

$$F_k^d = \left[ \begin{array}{c}
\rho {D_s}\frac{\partial {Y_s}}{\partial {x_k}}\\
\tau_{kj} \
\rho \sum_{s = 1}^{ns} {D_s}h_s^v\frac{\partial{Y_s}}{\partial {x_k}}-q_k^v \\
{u_j}{\tau _{kj}}-{q_k}
\end{array} \right] $$

$$S = \left[ \begin{array}{c}
{\omega _s}\\
0\\
{\omega _v}\\
0
\end{array} \right]$$

其中$Q$为场变量，$F_k^c(k = 1,2,3)$ 为无粘对流通量，$F_k^d(k = 1,2,3)$ 为粘性扩散通量；$S$为化学反应源项； $\rho_s (s=1,…,ns)$ 为组分分密度；$\rho=\sum_{s=1}^{ns} {\rho _s}$为混合物密度， $Y_s=\frac{\rho_s}{\rho}(s=1,… ,ns)$为组分质量分数， $D_s$为其扩散系数，$u_k$为速度的三分量；$p$ 为压力，$e^e$ 为单位质量混合气体的总能量，$e^v$ 为单位质量混合气体的振动能。

说明

许多文章中使用总密度守恒方程加(ns-1)个组分方程的形式。理论上两种形式是等价的，并且其Jacobian矩阵也可以通过相似变换互相得到。但由于我在推导非平衡偏导数时遇到一些困难（关于哪些变量做自变量的问题），所以我暂时选用了ns个组分方程的形式。
由于计算机截断误差的存在，许多作者求解过程中事实上是求解了总密度方程和ns个组分方程，然后将误差记在氮气组分中（因为其质量分数最大）或者将误差平摊。
在编程中，我发现将组分方程和振动能方程放在最下边比较好：一是比较容易扩展，可以扩展多组分、多温度模型；二是在隐式推进时比较方便操作（减小源项Jacobian矩阵的规模）。